선형대수 강의 7화 :: 벡터, 벡터 거리, 벡터의 내적

선형대수 7화를 듣고 배운내용

2부 시작 / 핵심: 벡터공간이란 무엇인가?

 

 

벡터(vector)

컴퓨터과학에서 벡터는 좌표값이다.

 

 

Rⁿ공간 벡터의 정의

영어로 유클리드 n차원 공간(Euclidean n-space)

n개의 실수들의 순서조 전체의 집합

순서조: 순서가 있다.

크기와 방향이 같으면( or 0점으로 옮기면) 벡터A와 벡터B는 같다.

 

벡터의 거리(크기)

R² 벡터의 크기

a² + b² 의 루트 씌운거 => 삼각형 윗면 구하는 피타고라스 정리

 

R³ 벡터의 크기

루트 a² + b²+ c²

 

Rⁿ 벡터의 크기

루트 a² + b² + c² + . . . + n²

 

 

벡터의 실수 곱

kA = (ka₁, ka₂, ... ka_n)

 

 

벡터의 합

A + B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, . . . , a_n + b_n)

 

 

벡터의 내적

'적'은 곱셉이라는 말

교환법칙, 배분법칙, 결합법칙 성립

같은 벡터의 내적은 자기 크기의 제곱

 

 

벡터의 사이각

벡터 A와 B의 사이각을 θ라고 하면

A ⋅ B = |A| |B| cosθ 성립

중요한 공식이라고 한다

 

 

정사영벡터

평면벡터 A=(1, 2), B=(-1, 3) 일 때

벡터 B의 벡터 A로의 정사영벡터 구하기

벡터 B에서 벡터 C로의 정사영벡터를 C라고 하면

C = |B| cosθu_A

 

 

단위벡터(방향벡터) u_A

A=(1,2)

A / |A|

그럼

|A| = 루트 5

그래서 A의 단위벡터는

(1 / 루트 5, 2 / 루트 5)

 

 

두 벡터의 수직 조건

영벡터가 아닌 두 벡터 A, B가 수직인 것은

A ⋅ B = 0인 것과 동일하다

 

 

벡터의 외적(Cross Product)

평면이 아닌 R³ 공간 벡터에서만 외적을 이야기한다

 

외적 공식

구하는 방법을 알아보자

 

외적의 성질

1. A x B = -(B x A)
2. A x A = O(영벡터)
3. kA X IB = KI(AxB)
4. Ax(B+C) = (AxB) + (AxC)

평행한 두 벡터의 외적은 O이다.

 

외적이 아닌 외적의 크기 공식

[A x B| = |A| |B| sinθ

=> 평행사변형의 크기다

 

평행육면체의 부피도 구할 수 있다.

(A x B) ⋅ C = | A x B | | C | cosθ

행렬식으로도 구한다

A=(2, 3, -4), B=(0, -1, 1), C=(3, 2, 6)가 이루는 평행육면체 부피 구하기

 

(A x B ) ⋅ C

= | 2 3 -4 |

   | 0 -1 1 |

   | 3 2 6 |

행렬식 구하면 된다.

= -19

그래서 부피는 |-19| = 19