선형대수 강의 8화 :: 체, 벡터공간, 부분공간

선형대수 8화를 듣고 배운내용

 

 

체(Field)

유리수, 실수, 복소수 집합에 연산(덧셈, 곱셈)이 만족하면 체

F 혹은 <F, +, *>라고 표기

 

덧셈에 대해 4가지, 곱셉에 대해 4가지, 공통 1가지 조건을 만족하는 집합을 체라고 부르겠다. 

각 4가지 조건

- 교환법칙

- 결합법칙

- 항등원 존재

- 역원 존재

그리고 공통의

- 분배법칙

전체 9가지를 만족하면 체

F의 원소를 스칼라(scalar)라고 부른다.

 

 

벡터공간(Vector Space)

집합 V 원소를 A, B, C, ... 로 표시하고, 체 F의 원소를 k, l로 표시할 때,

두 가지 연상(덧셈과 곱셈)에 대해서 8가지 조건을 만족하면,

V를 체 F 위에 정의된 벡터공간이라고 한다.

V안의 원소를 벡터라고 한다.

<V, +, *, F> 또는 <V, +, *> over F 라고 표기

 

행렬은 8가지  조건을 만족하기때문에,

행렬은 벡터다

 

 

부분공간(Subspace)

V를 체 F위의 벡터공간이라고 할 때

V의 부분집합 S가 두 가지 성질을 만족하면

집합 S를 벡터공간 V의 부분공간이라고 한다.

1. A, B ∈ S이면, A + B ∈ S 이다.
2. A ∈ S, k ∈ F 이면, kA ∈ S 이다.

=> S가 덧셈과 곱셉에 관해 닫혀있다.

=> A, B ∈ S, k, l ∈ F이면 kA + lB ∈ S 이다.

 

S < V 라고 표기한다.

 

 

부분공간의 예는 시험에 자주 나온다.

연습문제 링크 => https://youtu.be/s15wjHehWU0

 

 

unsplash에서 vector치면 나오는 사진