선형대수 강의 3화 :: 스칼라, 행렬의곱, 전치행렬

선형대수 3화를 듣고 배운내용

 

 

행렬의 기본 개념

mxn 행렬 A에 대하여

1. i번째 행의 j번째 원소

=> (i, j) 원소 a_ij

 

2. 행렬 A의 표현

=> A = (a_ij)

 

3. m = n 일 때

=> A는 n차 정방행렬(suqare matrix of order n)

 

4. A가 정방행렬일 때

=> a_ij(1<=i<n)를 A의 주대각원소

 

 

n차 정방행렬 A = (a_ij)에 대하여

1. a_ij = 0(단, i != j) => 대각행렬(diagonal matrix)

  1-1. a_ij = c(1 <= i <= n) => 스칼라 행렬(scalar matrix)

  1-2. a_ij = 1(1<= i <= n) => 단위 행렬(identity matrix)

 

2. a_ij = 0(단, i < j) => 하삼각 행렬(lower triangular matrix)

3. a_ij = 0(단, i > j) => 상삼각 행렬(upper triangular matrix)

행렬의 종류를 시험에서 물어볼 수 있다고 한다. 증명은 너무 어려워서

 

 

행렬의 상등

A = (a_ij)와 B = (b_ij)를 m x n 행렬이라 할 때,

모든 i, j(1 <= i <= m), (1 <= j <= n)에 대해 a_ij = b_ij인 경우, A와 B는 서로 같다 또는 상등하다고 한다.

 

 

행렬의 합

A = (a_ij)와 B = (b_ij)를 m x n 행렬이라 하면(행렬의 크기가 같다)

A와 B의 합은 m x n 행렬 C = (c_ij)

A + B = C로 표시

 

행렬의 합의 성질

1., A + B = B + A

2. A + (B + C) = (A + B) + C

3. A + O = A 를 만족하는 유일한 행렬 O가 Mmm에 존재

*행렬 O: m x n 크기의 영행렬(zero matrix)

4. A + D = O 를 만족하는 행렬 D가 A에 대해 유일하게 Mmm에 존재

*행렬 D: -A라 표시하며 A의 음행렬

=> 음행렬은 항등원을 만들어주는 행렬이군

 

 

행렬의 스칼라곱

스칼라: 실수, 용어에 쫄지 말자 그저 실수

 

행렬의 스칼라 배

A와 c의 스칼라배(scalar multiple) cA는

모든 원소에 c를 곱해주면 된다.

 

행렬의 스칼라 배 성질

1. (c + d)A = cA + dA

2. c(A + B) = cA + cB

3. c(dA) = (cd)A

4. 1A = A

 

 

행렬의 곱 *** 중요 ***

A = (a_ij)가 m x p 행렬, B = (b_ij)가 p x n 행렬이면 곱할 수 있다.

A 와 B의 곱은 AB = m x n 행렬 C = (c_ij)

AB = C 로 표기

 

행렬 곱의 특이 사항

m x p A와 p x n 행렬 B에 대해 AB는 정의 되지만,

AB = BA가 안된다. 그래서 형렬 곱의 특이 사항

 

그래서, BA는 4가지 경우가 있다.

1. BA가 정의 되지 않는 경우(n != m)

2. BA가 정의되나, AB와 크기가 같지 않는 경우 (n = m, p != n)

즉, AB는 n x n 행렬(n차 행렬), BA는 p x p 행렬(p차 행렬)

3. BA가 정의되고, AB와 크기도 같지만 AB != BA

4. BA가 정의되고 AB와 크기도 같으면 AB = BA

=> 행렬의 곱은 교환 법칙이 성립되지 않는다!

=> 행렬의 곱이 정의되면, 분배와 결합법칙은 된다.

 

행렬의 곱의 항등원

행렬의 곱에도 항등원이 있는가

임의의 수 a에 대해 1a = a1 = a를 만족하는 수 1과 유사한 기능응 갖는 행렬

 

행렬의 거듭제곱

n차 정방행렬 A에 대해 행렬곱 AA가 정의되고,

이는 다시 n차 정방행렬이 된다.

 

행렬의 단위행렬

 

행렬의 전치

1항 연산 같은거

행과 열을 서로 바꾼걸 전치 행렬이라 한다.

m x n 행렬은 n x m으로 바뀐다.

a_ij 원소는 a_ji 원소로 바뀐다

 

전치의 성질

1. (AT)^T = A

2. (A + B)^T = A^T + B^T

=> 행렬은 합이나 전치나 순서를 바꿔서 해도 된다.

3. (AB)^T = B^TA^T

=> 행렬은 곱은 전치부터 해야된다.

4. (cA)^T = cA^T

=> 스칼라나 전치에도 순서가 따로 없다는 의미

 

 

대칭행렬

전치를 한 행렬과 원래 행렬이 같을 때 대칭행렬이라 한다.

A^T = A인 행렬 A를 대칭행렬(symmetric matrix)

 

=> A는 정방행렬이어야 된다.

=> a_ij = a_ji를 만족해야된다.