이산수학 실시간 :: 명제, 관계, 함수

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2강 논리

명제(Proposition)란?

참과 거짓을 구별할 수 있는 문장이나 수식

예시) 메시는 호날두보다 발롱도르를 많이 탔다

 

명제의 진리값을 구하란 말은

명제의 참과 거짓을 붙여주는것

참(True) | 거짓(False)

 

식이란?

상수와 변수를 연산자로 묶은 것

 

 

합성명제

하나 이상의 명제와 논리연산자 그리고 괄호로 이루어진 명제

 

논리연산자

논리곱, 논리합, 부정, 베타적논리합

 

1. 논리곱(conjunction)

and 연산

부호: ∧

 

2. 논리합(disjunction)

or 연산

부호: ∨

 

3. 부정(negation)

not 연산

부호: ~

 

4. 베타적 논리합(exclusive or)

or은

p가 참, q가 참이면, 결과도 참인데

xor은

p가 참, q가 참이면, 결과는 거짓이다

즉, 다를 때만 T

같으면 F

 

 

논리적 동치 법칙을 살펴보자

외우지 않아도 이해를 하면 될 듯 싶다

• 교환법칙
• 겹합법칙
• 분대법칙
• 항등법칙
• 지배법칙
• 부정법칙
• 멱등법칙
• 드 모르간 법칙
• 흡수법칙
• 함축법칙
• 대우법칙
• ... 등

 

항진명제

항상 참인 명제

 

모순명제

항상 거짓인 명제

 

 

인공지능시 필요한 수학은 이렇게 3개라고 한다

선형대수(중요), 편미분학, 확률

 

 

6강 관계

곱집합(Cartesian Product)

집합 A, B의 곱집합 A x B는

A의 원소와 B의 원소의 모든 순서쌍(ordered pair)들의 집합

 

관계(relation)

집합 X에서 집합 Y로의 관계 R은

곱집합 X x Y의 부분집합

 

XY ∈ R

X = Y면 R을 X에서의 관계

 

 

관계의 표현

1. 화살표 도표

 

2. 방향 그래프

방향그래프로 나타내는 법

1. 정점 A의 정점을 좌표로 표시
2. T를 화살표를 그려준다

3. 부울행렬

행렬이 모든 원소가 부울값으로만 구성된 행렬

 

부울값(boolean matrix)

0 아니면 1

 

부울행렬로 나타내는 법

1. A x A에서
2. T의 좌표를 1, 나머지는 0 적어주면 된다

 

 

관계의 성질

집합 A에서의 관계 R

1. 반사적(reflexive)

A의 어떤 원소를 꺼내도 R에 속하면 반사적

2. 대칭적(symmetric)

A에서 아무 원소나 꺼내서

(a, b) ∈ R 이고 (b, a) ∈ R이면 대칭적이라 한다

3. 추이적(transitive)

A에서 세 원소를 꺼내서

 

이 세가지 만족하면 동치관계

• 반사적 구분법
  모든 정점에 self-loop 있어야된다
• 대칭적 구분법
  가는 선, 오는 선 같이 있어야한다
• 추이적 구분법
  a에서 b로 가고, b에서 c로간다면 a, c로도 가야된다

 

 

 

7강 함수

 

정의역

입력값

보통 X로 표현

 

치역

출력값

Y

 

함수의 종류

• 전사함수(Surjective Function)
  정의역과 치역이 완전히 같을 때

• 단사함수(Injective Function)
  x1 != x2 이렇게 다르면
  y1 != y2 이러면 단사
  일대일로 대응해야지 단사함수
  같은 치역을 가지면 단사함수가 아니다

• 전단사함수(Bijective Function)
  전사이면서 단사 함수

• 역함수(Inverse Function)
  역함수가 있으려면 전단사함수여야 한다

• 합성함수(Composition Function)
  함수 중복한 것
  (g ∘ f )(x) 이렇게 나타내기로 약속

• 계승함수(Factorial Function)
  팩토리얼 잘 정리된 링크
  => 나무위키 계승

• 바닥함수(Floor Function)
  실수를 정수로 바꿀 때 바닥값 이용
  갑자기 떠오른 Math.floor

• 천장함수(Ceiling Function)
  실수를 정수로 만들 때 천장값 이용
  Math.ceil 이겠지

• 나머지 함수(Modulo Function)
  나머지 구하는 함수
  n을 m으로 나눴을 때 나머지 => n mod m
  
  

나머지 함수 음수

• 해시(hash) 함수
  큰 정수집합에서 작은 정수로 만들 때 주로 나머지 함수 이용
  
  

 

 

Mathematics by Antonie Dautry #unsplash