이산수학 5강 :: 행렬, 기본연산, 10가지 행렬의 종류

이산수학 5강을 보며 배운내용

 

 

행렬은 뭐고? 어디에 쓰이나?

행과 열로 사각형 형태로 수를 배열

 

활용 분야

• 프로그래밍 언어
• 자료구조
• 컴퓨터 그래픽
• 패턴인식
• 로봇동작
• 인공지능 등

 

🔅 정의

m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형 수 배열 A를 m x n 행렬이라고 한다

행벡터: 1 x n

열벡터: n x 1

 

영행렬

모든 원소가 0일 행렬

 

 

행렬의 기본 연산은 이렇구나

크기가 같은 행렬 A, B가 있고, k를 실수라 가정

 

🔅 행렬의 합과 차

각 자리들끼리 더해주거나 빼주면 된다

 

🔅 스칼라 곱

각 자리(원소)에 k를 곱하기

스칼라는 실수! 단어에 겁먹지 말자

 

아래의 연산 법칙 만족한다

• 교환법칙
• 결합법칙
• 항등원
• 합의 역원
• 스칼라 곱의 결합법칙
• 스칼라 곱의 분배법칙

 

🔅 행렬의 곱

A가 m x n 행렬, B가 n x l 행렬

행렬의 곱은 A의 열과, B의 행이 같아야 곱을 할 수 있다

=> m x l 행렬이 만들어진다

 

행렬 곱의 연산법칙

• 결합법칙
• 분배법칙
• 교환 법칙 X
  AB != BA

 

행렬의 곱에서는 A, B 둘다 영행렬이 아니지만,

이렇게 영행렬도 나올 수 있다

 

가우스 소거법를 이용하면 다음 행렬들을 만들 수 있다

즉, 가우스 소거법은 행렬을 계산하기 편하게 변형시키는 것

 

🔅 행제형 행렬

다음 세가지 조건을 만족하면 행사다리꼴(행제형)

1. 영행은 다른 행위에 있을 수 없다
2. 영행이 아닌 행의 0이 아닌 첫 번째 원소를 선도원소라고 하고, 모든 선도원소는 1
3. 선도원소 아래의 선도원소는 그 위의 선도원소보다 오른쪽에 있다

 

🔅 소거 행제형 행렬

행제형 행렬에 조건 한 가지 더

1. 선도원소가 포함된 열에서 선도원소 제외하고 모두 0

 

 

10가지 행렬의 종류와 간단 설명

1️⃣ 정방행렬

행과 열 개수가 같은 정사각형 행렬

 

2️⃣ 대각행렬

n차 정방행렬에서 대각원소 외에 모든 원소가 0인 행렬

영행렬도 대각행렬이 되겠군

 

3️⃣ 스칼라 행렬

일단 대각행렬인데, 대각원소 값들이 다 k(스칼라)

 

4️⃣ 단위행렬

스칼라 행렬인데 k값이 1일 때

대각원소 값들 전부 1이다

 

5️⃣ 대칭행렬

주대각선을 중심으로 대칭인 행렬

 

6️⃣ 역대칭행렬

대각원소가 0, 대칭되는 원소들은 서로 부호(-)가 다른 행렬

 

7️⃣ 삼각행렬

정방행렬 행렬중에,

상감각행렬은 주대각선 밑에가 모두 0

하삼각행렬은 주대각선 위에가 모두 0

 

8️⃣ 전치행렬

어떤 행렬 A의 행과 열을 서로 교환한 행렬

 

9️⃣ 역행렬

정방행렬 A, B가 주어졌고, AB = BA = I 인 행렬 B가 있으면

행렬 A를 역연산이 가능한 행렬이고, B가 역행렬

 

🔟 부울행렬

모든 원소가 부울값(0 혹은 1)로 만들어진 행렬

 

부울행렬의 연산

• 합은 논리합(합집합)이다
• 교차는 교집합
• 부울곱은 행렬곱이랑 비슷한데 논리연산을 사용한다는 것이 다르다
  곱하기를 교집합으로, 더하기를 합집합으로 사용 

 

 

Matrix by Henry Co @unsplash