선형대수 강의 4화 :: 역행렬, 정칙행렬

선형대수 4화를 듣고 배운내용

 

 

역행렬 응용

암호문에서 역행렬은 복호화키

 

역행렬

일차연립방정식 AX = B는 A가 n차 정칙행렬이면,

유일한 해 X = A^-1B를 갖는다.

정칙행렬: 역행렬을 갖는 행렬

A x A^-1 = I(단위행렬)

 

정칙행렬의 유일성

A가 정칙행렬이면 A^-1은 유일하다

 

2차 정방행렬의 역행렬 구하는 공식

 

A = ( a b )                      A^-1 = ( x  y )

      ( c d )                               ( z w )

 

D = ad-bc (0이 아닐 때)

D는 또 A의 행렬식이라고 부른다

 

x=d / D

y=-b / D

z=-c / D

w=a / D

 

A^-1 = 1/D( d -b )

             ( -c  a )

 

 

정칙행렬의 성질

A와 B가 n차 정칙행렬이면,

1. A^-1 도 정칙행렬 (A^-1)^-1 = A

2. AB 도 정칙행렬 (AB)^-1 = B^-1A^-1

3. cA 도 정칙행렬 (cA)^-1 = c^-1A^-1 (단 c !== 0)

4. A^T 도 정칙행렬 (A^T)^-1 = (A^-1)^T 

 

 

기본행렬(elementary matrix)

n차 단위행렬 In에 기본행연산을 한번만 적용하여 얻는 행렬 E를 기본행렬이라고 한다.

기본행연산을 가지고 기본행렬 구하는 방법이 문제로 나온다고 한다.

 

기본행렬은 정칙행렬이고,

그 역행렬은 동일한 종류의 기본행렬이다.

 

기본행연산(Elementary row operation)

1. 두 행을 교환
2. 한 행에 0이 아닌 상수를 곱한다
3. 한 행에 임의의 상수를 곱하면 다른 행에 더한다.

 

행상등(Row-equivalent)

행렬 A에 기본행연산을 아무리 해서 나온 행렬 B가 있더라도,

A와 B는 행상등이라고 한다.

 

 

정칙행렬과 영행

A가 n차 정칙행렬이면, A에는 영행이나 영렬이 없다.

 

 

정칙행렬의 특성

A가 n차 정방행렬일 때 다음은 서로 동치이다.

A는 정칙행렬이다

A와 I_n은 행상등하다

A는 유한개의 n차 기본행렬들의 곱이다.

 

 

역행렬 구하는 이론

정방행렬 A에 단위 행렬을 붙여 확대 행렬로 바꾸고(A | I_n)

왼쪽을 소거행제형으로 바꾼다, 오른쪽이 A의 역행렬이 된다.

 

이 부분인 엄청 중요하다고 한다.

책, 인터넷 찾아보자

 

 

위수

행렬 M에 기본행연산을 적용해서 행제형 행렬 R로 만들었을 때

R의 영행이 아닌 행의 수를 행렬 M의 위수라고 한다.

 

 

가우스-조르단 소거법과 역행렬 구하는 방법은 같은 방법이다.

 

행렬방정식 AX = B의 해

A가 n차 정칙행렬이면, 임의의 n x 1 행렬 B에 대해 행렬방정식 AX = B는 유일한 해 X = A^-1B를 갖는다.

 

 

역행렬 구하는 방법을 연습하자

2차, 3차 행렬의 역행렬 구할 줄 알아야 좋겠다.

연습문제 유튜브 링크 => https://youtu.be/mpTjc893sjI